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傅里叶级数(一)
2016-12-20 09:28:00         来源:selous的专栏  
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傅里叶级数(一):傅里叶级数,起初是用来解决如何求解微分方程的问题的。学过高数的应该都知道,对于非齐次微分方程的求解,如果输入是指数幂,sin或者cos系列,就可以先求其其次微分方程的通解,然后通过公式求出特解。

如果是其他的函数,就很难解决。傅里叶级数就是将所有的周期函数转化为sin和cos的乘积。这篇博客就是讲解傅里叶级数的推导。

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一个以T为周期的实函数fT(t),如果在[?T2,T2]上满足狄利克雷条件:
(1)连续或只有有限个第一类间断点
(2)只有有限个极值点
fT(t)=a02+∑n=12(ancosnwt+bnsinnwt)
其中:w=2πT,an=2T∫T2?T2fT(t)cosnwtdt(n=0,1,2,…)bn=2T∫T2?T2fT(t)sinnwtdt(n=1,2,…)

证明

简化一下:假设T=2π,则要证明的式子为:w=1,an=1π∫π?πfT(t)cosntdt(n=0,1,2,…),bn=1π∫π?πfT(t)sinntdt(n=1,2,…)

函数的正交性(orthogonal)

定义

先给大家介绍一个概念:函数的正交性。
有两个函数u(t),v(t),如果:
∫π?πu(t)v(t)=0则称这两个函数满足正交性(我忽略了视频中提到的周期,希望并没有是影响??)

叫做正交的原因是因为,上式所求的就是两个函数的内积,与向量正交挺像的。而且目前,函数正交应用也很广泛。

证明

下面将要证明:对于所有的
{sinnt,cosmt,n=(1,2,3,…)m=(0,1,2,3,…)这个函数集合中的任意两个函数,都满足正交性。

傅里叶级数

求解过程:
f(t)=c0+∑n=0∞(ancosnt+bnsinnt)
如果我们将两边都乘上cosnt,并求积分,则:
∫π?πf(t)cosntdt=∫π?π(c0+∑n=0∞(ancosnt+bnsinnt))cosntdt
当将右边的式子展开后,就是:
∫π?πf(t)cosntdt=∫π?πc0cosntdt+?+∫π?πancos2ntdt+∫π?πbnsinntcosntdt+…
由上面的正交性证明可以知道:等式右边除了∫π?πancos2ntdt其余各项均为;
则等式可以化解为:
∫π?πf(t)cosntdt=∫π?πancos2ntdt
∫π?πcos2ntdt=π
故可以求出an的值,相同的bn是同样的方法。

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